Ведьминская кривая Аньези, форму которой имеет рампа единственного российского авианосца. Почему она так названа?

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу Вам рассказать удивительную историю, которая есть далеко не у каждого математического или геометрического объекта. Корни моего рассказа уходят в 18 век и происходили в самом сердце Священной Римской империи - итальянском городе Милан.

В зажиточной купеческой семье (21-ой по счёту) в 1718 году родилась Мария Гаэтана Аньези. Иронично, что в именно в 21 год отец Марии не дал уйти девушке в монастырь, настояв на необходимости заниматься математикой (он сам был профессором и заметил способности дочери).

Уже нетипичная история для 18 века, не правда ли?

В итоге по представлению Папы римского Бенедикта XIV Мария стала профессором математики, натуральной философии и физики университета Болоньи, а затем вошла в историю за исследование одной плоской кубической кривой. Давайте посмотрим, о чем шла речь.

Построение на пальцах

1. Итак, нам необходимо построить окружность, а также провести касательную l1 через любую её точку. Удобнее всего это будет сделать через её верх:

Этапы построения точек подписаны цифрами
Этапы построения точек подписаны цифрами

2. Берем произвольную точку А на касательной l1 и проводит через неё прямую в точку, диаметрально противоположную точке касания.

3. Через точку пересечения с окружностью новой прямой проводим прямую l2, параллельную касательной l1.

4. Из точки А проводим перпендикуляр к прямой l2. На пересечении и получаем точку искомой кривой.

Если повторить указанные выше построения, а затем отразить всё через вертикальную ось, получим такую кривую:

С первого взгляда кривая очень похожа на колоколообразную кривую нормального распределения, однако первое впечатление обманчиво. У нашей героини намного более "тяжелые хвосты"

Конечно, как и в почти любой математической истории 17-18 века здесь не обошлось без вездесущего Пьера Ферма, который уже рассматривал похожую конструкцию. Заслуга Марии Аньези в том, что именно она систематизировала все знания о кривой и нашла её алгебраическое уравнение, дала характеристики точкам перегиба и асимптотической линии, к которой стремятся внизу "ведьминские" локоны.

Кстати, а при чём здесь ведьмы?

Первое название "верзьера" кривой дал еще один знакомый персонаж - итальянский монах Гвидо Гранди, известный по одноименному числовому ряду.

Дело в том, что при построениях он оперировал функцией "синус-верзус"

Из-за этого профессор Кембриджа Джон Колсон неправильно перевел название кривой как "ведьма", когда работал над английской адаптацией труда Марии Аньези. Зато теперь в англоязычной литературе можно встретить названий "Witch of Agnesi".

А какие применения есть у верзьеры Аньези?

С точки зрения прикладной математики именно кривая Аньези стала полем для эксперимента, благодаря которому был открыт т.н. эффект Рунге.

Простыми словами он заключается в неограниченном увеличении погрешности приближения некоторых кривых линий с помощью интерполяционных полиномов при увеличении их степени. Смотрите:

Синим цветом - функция, которую надо аппроксимировать полиномом. На рисунке полином 5-ой степени (например, ax^5 + bx^4+cx^3+dx^2+ex+f). Кажется, что если увеличивать количество степеней, то можно добиться идеального приближения.
Синим цветом - функция, которую надо аппроксимировать полиномом. На рисунке полином 5-ой степени (например, ax^5 + bx^4+cx^3+dx^2+ex+f). Кажется, что если увеличивать количество степеней, то можно добиться идеального приближения.
 Но посмотрите, что происходит, когда степень равна 10
Но посмотрите, что происходит, когда степень равна 10

Так вот, впервые эффект Рунге был замечен как раз на кривой Аньези.

Верзьера, представляющая с эстетической точки зрения идеальный холм или одиночную морскую волну, также используется в математическом моделировании.

Источник: https://voenflot.ru/wp-content/uploads/2020/11/1-2048x1366.jpg

Форму кривой Аньези также имеет трамплин-рампа авианесущего крейсера "Адмирал флота Советского Союза Кузнецов". Его параметры (длина, угол схода) подобраны таким образом, что самолет находится на идеальном угле атаки с нужно скоростью. Могла ли предположить итальянская девушка Мария такое применение своей безобидной кривой?

  • TELEGRAM "Математика не для всех" - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.